Эта работа опубликована в сборнике статей с материалами трудов 2-ой международной телеконференции "Проблемы и перспективы современной медицины, биологии и экологии". Название сборника "Фундаментальные науки и практика Том 1, №3"

Сибирский Государственный Медицинский Университет (Россия, Томск)

Введение
Модели Зимана (пульсация сердца и нервный импульс, 1973) являются примерами геометрического подхода к моделированию биологических процессов с помощью дифференциальных уравнений. Они построены на основе чисто качественного описания динамики соответствующих биологических механизмов. Дифференциальные уравнения, которые выбираются для описания моделей, являются просто наиболее элементарными уравнениями с требуемым поведением. К ним не предъявляется никаких особых требований, так как не уточняются механизмы возникновения той или иной динамики. Речь идет только о некоторых качественных признаках фазовых портретов, которые можно принять за математическое описание пульсации сердца и прохождения нервного им¬пульса.
Сердце может в большинстве случаев находиться в одном из двух состояний: расслабленном (диастола) и сокращенном (систола). Коротко говоря, в ответ на электрохимическое воздействие каждое мышечное волокно быстро сокращается, остается некоторое время в сокращенном состоянии и затем быстро возвращается к своему прежнему, расслабленному состоянию и т. д.
В противоположность этому прохождение нервных импульсов имеет совершенно иную динамику. Часть нервной клетки, передающая импульс, называется аксоном. Состояние аксона определяется электрохимически управляемым потенциалом между внутренней и внешней частями аксона. В отсутствии возбуждения потенциал аксона остается на уровне покоя — некотором определенном постоянном уровне. Если передается импульс, то потенциал аксона резко меняется, а затем медленно возвращается к потенциалу покоя.
Эти процессы имеют три общие качественные черты, которые и служат основой для модели. Эти черты таковы:

1.    существование устойчивого состояния равновесия, к которому система периодически возвращается;
2.    наличие некоторого механизма, включающего действие;
3.    возвращение к состоянию равновесия после окончания действия.

В этом контексте основная разница между механизмами работы сердца и прохождения нервного импульса состоит в том, как осуществляется пункт 3.
Чтобы построить модель работы сердца с указанными выше свойствами, мы должны понять, что означают эти свойства в терминах фазового портрета.
Свойство 1 состоит в том, что на фазовом портрете имеется устойчивая неподвижная точка.
Свойство 2 означает, что существует некоторый механизм, периодически переводящий состояние системы из неподвижной точки в точку, соответствующую некоторому другому состоянию системы.
Траектория, проходящая через это новое «пороговое» состояние, совершает некоторое быстрое действие, за которым следует быстрое возвращение в положение равновесия, как это требуется в 3.

Техническая реализация.
Система уравнений, с помощью которой осуществлялась реализация моделей, выглядит следующим образом:

Для реализации данных моделей была выбрана программа MATLAB версии 7.5.0 (R2007b). Модели реализованы в виде m-файлов.

Текст m-файла модели пульсации сердца:

----------
% Численное интегрирование модели Зимана пульсации сердца
e=0.01; % значение параметра
x0=[0 0.1 0.7]; % начальная точка
t=[0:0.1:20]; % время
[t,x]=ode45('sys',t,x0,[],e);
plot(t,x) % график x,a,b от t
 figure, plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
%вариант с анимацией
%figure, comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
----------
  

 Рис 5. Реализация модели пульсации сердца

Текст m-файла модели пульсации сердца:

----------
e=0.1; % значение параметра
x0=[0.5 0.9 2.7]; % начальная точка
t=[0:0.1:20]; % время
[t,x]=ode45('sys',t,x0,[],e);
plot(t,x) % график x,a,b от t
 figure, plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
% вариант с анимацией
%figure, comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
----------

  

Текст файла SYS одинаков для обеих моделей:
----------
function f = sys(t,x,flag,e)
% x(1) - x
% x(2) - a
% x(3) - b
f = [-(x(1)^3+x(2)*x(1)+x(3))/e;
     -2*x(1)-2*x(2);
     -x(2)-1];
----------

Выводы:
1.    Математические модели пульсации сердца и нервного импульса очень схожи, и отличаются только временем возвращения к состоянию равновесия после окончания действия.
2.    Программа Matlab очень удобна и проста для реализации многих биологических процессов.

Использованная литература:
1.    Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями -М.: Мир, 1986.- 243 с.
2.    Смолянинов В.В. Математические модели биологических тканей. М.: Наука, 1980. – 368 с.
3.    Половко А. М., Бутусов П. Н. MATLAB для студента. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. —32 0 с : ил.
4.    Коткин Г. Л., Черкасский В. С. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием MATLAB: Учеб. пособие / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 2001. 173 с.
5.    Дьяконов В. П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2008. – 768 с.: ил.
6.    Физиология человека / Под ред. Г.И. Косицкого. –Ф50 3-е изд., перераб. И доп. – М.: Медицина, 1985. 544 с.